Ćwiczenia

Zadanie 1. Znaleźć rzuty krawędzi dwóch płaszczyzn α  i β, jak na rys.1.

Rys. 1

Rozwiązanie zad.1: Z rysunku widać, że płaszczyzna β przecina rzutnię poziomą i pionową pozostawiając ślady poziomy hβ i pionowy vβ. Ślady te przecinają sie ze śladami płaszczyzny α, odpowiednio ze śladem pionowym vα i poziomym vα. Punkty przecięcia leżą na krawędzi przecięcia się obu płaszczyzn. Nazwijmy ich rzuty odpowiednio hk  i vk . Gdyby ślady płaszczyzny α tworzyły jednakowy kąt z osią X, to oba punkty leżałyby na jednej odnoszącej i rzutem krawędzi byłaby odnosząca. Ponieważ ślady tworzą różne kąty, rzuty pionowy i poziomy krawędzi znajdziemy prowadząc odnoszące z p. węzłowych hk  i vk w kierunku osi X,  Uzyskamy w ten sposób rzuty p. węzłowych w kierunku drugiej rzutni. Punkt vk będzie miał na osi X rzut vk’, a punkt hk rzut hk”. Rzut poziomy krawędzi uzyskamy prowadząc prostą od p. hk do  vk’ , rzut pionowy prostą od p. vk  do p. hk”

Rys.2 Rozwiązanie graficzne zadania nr 1.

Zadanie 2. Znaleźć rzuty krawędzi dwóch płaszczyzn α  i β, jak na rys.3.

Rys. 3

Z rysunku 3 wynika, że płaszczyzna β jest równoległa do rzutni poziomej, tym samym prostopadła do pionowej i zostawia na tej rzutni ślad pionowy vβ. mamy tutaj przypadek szukania krawędzi płaszczyzny rzutującej z płaszczyzną dowolną. Aby wyznaczyć rzuty tej krawędzi musimy mieć co najmniej dwa jej punkty. Pierwszy już mamy, jest to punkt węzłowy przecięcia się śladów płaszczyzn. Punkt drugi znajdziemy następująco:

– na płaszczyźnie  α poprowadzimy prostą równoległą do osi X, prosta przetnie ślad poziomy płaszczyzny w p. A.

– rzutujemy p. A na oś X, uzyskamy p. A”

– z p. A” prowadzimy prosta równoległa do śladu pionowego płaszczyzny V  , prosta przecina ślad pionowy płaszczyzny Vβ w p. X”,

– prowadzimy odnoszącą z p. X” w kierunku rzutni poziomej, p. X leży na prostej m, a więc jego rzut poziomy X’, będzie w miejscu przecięcia sie odnoszącej z rzutem poziomym prostej m’

– rzutujemy p. węzłowy obu płaszczyzn Vk, na oś X uzyskując p. Vk’

– rzutem poziomym krawędzi k będzie prosta poprowadzona przez p. Vk’ i X’

– rzutem pionowym krawędzi będzie ślad płaszczyzny β

Rys.4 Rozwiązanie graficzne zadania 2.

 

Zadanie 3. Znaleźć p. przebicia prostą p trójkąta ABC. Określić na rzutach widoczność prostej.

 

Rozwiązanie zadania 3. Aby znaleźć p. przebicia trójkąta ABC przez prostą p prowadzimy płaszczyzne rzutujaca np. w kierunku rzutni poziomej. Płaszczyzna przecina trójkąt ABC w p. D i E, których rzuty D’ i E’ pojawiąa sie na rzutni. Prowadzimy odnosząca z punktów D’ i E’ i znajdujemy odpowiednio p. D” i E”. Punkt przebicia prostej S na rzutni poziomej (S’), znajdzie  się na prostej p’, natomiast na rzutni pionowej na prostej poprowadzonej z p. D” do E” w miejscu przecięcia się z prostą p”. Aby określić widoczność prostej zwróćmy uwagę na zachowanie p. D. Na rzutni poziomej, punkt ten leży na prostej p , na rzutni pionowej pod prosta p”, co oznacza, że prosta p’ na rzutni poziomej leży nad punktem, tym samym jest widoczna aż do punktu przebicia S,  dalej biegnie pod trójkątem.

Rys. 5 Znajdowanie p. przebicia trójkąta ABC prostą p.

 

Zadanie 4. Znaleźć krawędź pomiędzy trójkątem i czworokątem jak na rys. 6. Określić części widoczne i niewidoczne.

Rys. 6

Rozwiązanie zadania 4. Punkt przebicia znajdujemy podobnie jak w zadaniu 3. Przewidujemy, że punkt taki wystąpi na ramieniu NM czworokąta, dlatego przez odcinek NM prowadzimy płaszczyznę rzutującą. Płaszczyzna przecina ramiona AC i CB trójkąta. Z p. przecięcia prowadzimy odnoszące i znajdujemy odpowiednie p. przecięcia na rzutni pionowej. Prowadząc prostą p” przez te punkty uzyskujemy punkt przebicia S”. Podobny zabieg wykonujemy na odcinku KN. Okazuje się jednak, że w tym wypadku punktu przebicia nie ma (linia zielona nie przebija odcinka K”L”). Musimy w inny sposób znaleźć kolejny p. aby wykreślić krawędź wspólną.  Z rysunku wynika, że jeden z p. musi wystąpić na odcinku A”B”. Krawędź musi więc przebić przekątną czworokąta poprowadzoną z p. K do M. Kreślimy przekątną (prosta m’) i prowadzimy przez nią płaszczyznę rzutującą. Z punktów przebicia z ramionami trójkąta prowadzimy odnoszące znajdując ich odpowiednie rzuty (np. p. Z”). Przez punkty te prowadzimy prostą m”, prosta przebija przekątną czworokąta na rzucie pionowym w p K”. Prowadząc z p. S” i K” prostą do przecięcia z ramieniem AC trójkąta znajdujemy szukaną krawędź wspólną figur. Aby określić widoczność posłużymy sie p. M. Na rzucie pionowym p. M” leży pod trójkątem, tym samym na rzucie poziomym jest niewidoczny.