Rzuty na trzy płaszczyzny prostopadłe
Odwzorowanie geometryczne figury przestrzennej można wykonać na dwóch rzutniach stosując szereg przekształceń (obrót, kład, itp.) Jest to jednak często zadanie bardzo pracochłonne, wymagające dużej precyzji i wprowadzenia szeregu dodatkowych prostych pomocniczych ograniczających widoczność. W wielu wypadkach przy braku oznaczeń odwzorowanie figury nie jest możliwe bez wprowadzenia trzeciej rzutni. W poprzednim rozdziale omówiliśmy transformacje układu odniesienia, gdzie trzecia rzutnia była skośna do osi X, a oś rzutów równoległa lub prostopadła do wybranego elementu figury. Poniżej zajmiemy się przypadkiem, w którym trzecia rzutnia π3 jest prostopadła do dwóch pozostałych π1 i π2. Z geometrycznego punktu widzenia rzutnia taka jest płaszczyzną podwójnie rzutującą, tzn. taką, której ślady są prostopadłe do osi X. Wiadomości wstępne o rzutowaniu prostokątnym w wersji dla szkół średnich zawarłem też w temacie 6 dokumentacji technicznej.
Zadanie 1. Prosta k jest ^ do osi rzutów X i określona punktami A i B. Wyznacz za pomocą trzeciej rzutni punkty przebicia przez tą prostą płaszczyzn rzutujących π1 i π2.
Rozwiązanie tego zadanie w układzie trzech rzutni jest bardzo proste. Znajdujemy trzecie rzuty punktów A i B przenosząc je równoległe do do osi X. Punkty A”’ i B”’ wyznaczają prosta k”’. Prosta k”’ przebija oś poziomą i pionowa odpowiednio w punktach Hk”’ i Vk”’. Rysunek poniżej.
Wystarczy teraz przenieść w odwrotnym kierunku znalezione punkty na rzutnie π1 i π2.
ZADANIE 2. Dana jest płaszczyzna α określona śladami hα i Vα oraz rzut pionowy punktu A leżącego na tej płaszczyźnie. Znaleźć rzut poziomy punktu A oraz jego odległość od osi X.
Zadanie rozwiążemy metodą trzech rzutni prostopadłych, przy czym w tym wypadku trzecią rzutnię poprowadzimy dla wygody przez punkt A. Trzecia rzutnia przecina płaszczyznę α i rzutnie π1 i π2 w punktach węzłowych Yα i Zα .Aby znaleźć drugi rzut punktu A w pierwszej kolejności znajdujemy rzut boczny płaszczyzny α (kα) na trzecią rzutnię przenosząc punkt węzłowy Yα.
Ponieważ trzecia rzutnia przechodzi przez punkt A to punkt ten leży także na śladzie bocznym płaszczyzny α . Przenosząc jego rzut pionowy na ślad boczny i rzutując w kierunku odwrotnym uzyskamy ślad poziomy punktu. Jego odległość od osi X to odcinek A”’O ( na rysunku kolor czerwony).
Szczególne położenie płaszczyzn w rzutowaniu prostokątnym.
A. Płaszczyzna α^π1 i π2 . Śladami płaszczyzny α jest prosta prostopadła do osi X.
B. Płaszczyzna α║X i α║Z.
C. Płaszczyzna α║Z oraz α^π1
D. Płaszczyzna α║Y oraz α ^ do X i Z.
E. Płaszczyzna α║X oraz α ^ do Y i Z
