5.1 Obrót punktu
Obrotem punktu A dookoła osi „l” nazywamy przemieszczenie tego punktu do nowego położenia o nazwie Al dokonane po łuku okręgu leżącego na płaszczyźnie prostopadłej do osi „l ” i przechodzącej przez punkt A. Środek tego okręgu S, położony jest na osi „l” i nazywa się środkiem obrotu, a promień okręgu AS (r) nazywany jest promieniem obrotu. Kąt o który obraca sie punkt nazywamy kątem skierowanym ω, przy czym kierunek tego obrotu może być zgodny lub przeciwny do ruchu wskazówek zegara.
Konstrukcja obrotu jest możliwa pod warunkiem prostopadłości osi l do rzutni, tym samym płaszczyzna okręgu musi być płaszczyzną rzutująca lub czołową.
Z obrotem punktu A związane sa następujące elementy obrotu, których nazw będziemy od tej pory używać:
– prosta „l” jest osią obrotu
– płaszczyzna „ε” jest płaszczyzną obrotu
– punkt S jest środkiem obrotu
– odcinek AS długości „r” jest promieniem obrotu
– kąt „ω” jest skierowanym kątem obrotu
Przykład 1. Znaleźć obrót punktu A o kąt skierowany120° względem prostej l ^ π1
Prosta l jest prostopadła do płaszczyzny π1, a więc tworzy na tej płaszczyźnie ślad w postaci punktu l’, który jest jednocześnie środkiem obrotu S’. Aby znaleźć rzut punktu A po jego obrocie o kąt skierowany poprowadzimy płaszczyznę rzutującą ε przez rzut pionowy punktu A (A”). Śladem pionowym tej płaszczyzny będzie prosta k” prostopadła do prostej l” przechodząca przez punkt A”, a jej rzutem poziomym rzutnia π1 . Aby znaleźć rzut punkt A po jego obrocie, ze środka obrotu S’ zataczamy łuk o promieniu r równym A’S’ i kącie 120° ,zgodnie ze wskazówkami zegara. uzyskujemy nowe położenie punkt A’ (A1′). Z punktu tego prowadzimy rzutującą w kierunku prostej k” znajdując drugie położenie punktu A1″. Identycznie znajdujemy rzuty punktu A dla osi obrotu „l” prostopadłej do π2
5.2 Obrót prostej.
Obrotem prostej nazywamy obrót dwóch dowolnych punktów tej prostej o taki sam kąt skierowany. Dzięki obrotowi prostej możemy znaleźć rzeczywista długość odcinka leżącego na tej prostej, czy kąt nachylenia prostej w odniesieniu do płaszczyzny.
Przykład 2. Znaleźć rzeczywista długość odcinka AB, znając jego rzuty poziome i pionowe.
Rozwiązanie: Przez punkt A” prowadzimy prostą l” będącą osią obrotu. Rzut poziomy tej prostej będzie sie pokrywał z punktem A’. Następnie przez punkt B” prowadzimy płaszczyznę rzutująca ε równoległą do osi X, rzutem pionowym tej płaszczyzny będzie prosta k” a poziomym płaszczyzna π1 . Aby znaleźć rzeczywista długość odcinka AB wykonujemy obrót punktu B’ dookoła osi S’ o taki kąt ω ,aby w nowym położeniu odcinek A’B1′ był równoległy do osi X. Następnie prowadzimy rzutującą w kierunku osi X znajdując na przecięciu z prostą k” rzut p. B1″. Rzeczywista długość odcinka AB wyznaczona jest przez p. A”B1″ (kolor czerwony).
Przykład 3. Dana jest prosta m nierównoległa płaszczyzny π1 i π2 i punkt A leżący na tej prostej. Znaleźć i narysować na rzutach prostej odcinek AB o długości 200mm.
Rozwiązanie: Przez punkt A’ prowadzimy prostą l’ tak aby rzutem tej prostej (a jednocześnie środkiem obrotu) był punkt A”. Na prostej m obieramy dowolny punkt pomocniczy np. K i wykonujemy jego obrót, tak aby w nowym położeniu prosta m była równoległa do płaszczyzny poziomej π1, tym samym do osi X. Uzyskujemy nowe położenie prostej m (m1′ i m1″). Prosta m1′ jest równoległa do rzutni tym samym jej rzutem jest ta sam prosta. Odkładając na niej z p. A odcinek 200 mm odkładamy więc rzeczywistą długość tego odcinka. Wystarczy teraz przenieść odpowiednio rzuty p. B z prostej m1′ na proste m’ i m” aby uzyskać rzuty odcinka AB (kolor czerwony)
5.3 Obrót płaszczyzny
Obrotem płaszczyzny α lub figury leżącej w tej płaszczyźnie wokół osi „l” o kąt skierowany nazywamy obrót dookoła tej osi o ten sam kąt tylu punktów, aby możliwe było określenie płaszczyzny w nowym położeniu αl